Есептерді дауыстап оқу · әріптер мен таңбалар
«Әріптеп» режимі әр әріпті, цифрды, жақшаны, дәрежені және басқа таңбаларды жеке атайды. Мәтін өзгертілмейді және есептің шешімі қосылмайды. «Мәтін және таңбалар» режимінде сөздер тұтас, математикалық таңбалар жеке оқылады. Латын әріптері жеке аталады, сандар цифрлап оқылады.
Дауыс құрылғы мен браузерге байланысты. Қазақша дауыс болмаса, оны құрылғының сөйлеу параметрлерінде қосу қажет. Бет оқу батырмасы тек ашық, көрініп тұрған мәтінді оқиды; жабық жауаптар ашылмайды. Төмендегі жеке «Әріптеп оқу» батырмалары әрқашан әріптеу режимін қолданады.
Формулалар, анықтамалар және теоремалар
Қажетті ұғымды тап, қолдану шартын түсін және оны тақырыптағы жаттығуларда тексер.
193 жазба · Формулалар
5-сынып · Сандар
Натурал сандар
a + b = b + a
Алдымен разрядтарды ажырат. Ондықтарды, содан кейін бірліктерді қос.
Мысал: 24 + 16 = 40
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Бөлшектер
Жай бөлшектер
a/c + b/c = (a + b)/c
Бөлім бөліктердің өлшемін, алым олардың санын көрсетеді. Бөлімдері бірдей болса, алымдарды қос.
Мысал: 2/7 + 3/7 = 5/7
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Геометрия
Периметр және аудан
P = 2(a + b); S = ab
Ұзындық пен аудан бірліктерін шатастырма. Тіктөртбұрышты бірлік шаршыларға бөліп елестет.
Мысал: a = 6, b = 4 болса, S = 24
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Қатынастар
Пайыз және пропорция
p% · a = pa/100
Алдымен 1%-ды тап: санды 100-ге бөл. Содан кейін пайыз мөлшеріне көбейт.
Мысал: 200 санының 15%-ы — 30
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Сандар
Рационал сандар
(−a) + a = 0
Сан сәулесінде оңға қозғалу — қосу, солға қозғалу — азайту.
Мысал: −8 + 3 = −5
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Теңдеулер
Сызықтық теңдеу
ax + b = c → ax = c − b
Теңдіктің екі жағына бірдей амал қолдан. Табылған түбірді бастапқы теңдеуге қойып тексер.
Мысал: 3x + 2 = 14 → 3x = 12 → x = 4
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Алгебра
Бірмүше
aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ
Бірдей негізді дәрежелерді көбейткенде көрсеткіштер қосылады. Коэффициенттерді бөлек көбейт.
Мысал: x² · x³ = x⁵
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Алгебра
Қысқаша көбейту формулалары
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Қосындының квадраты екі квадраттың қосындысы ғана емес: ортаңғы 2ab мүшесін ұмытпа.
Мысал: (x + 3)² = x² + 6x + 9
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Геометрия
Үшбұрыштар
α + β + γ = 180°
Ішкі бұрыштар қосындысын пайдаланып белгісіз бұрышты тап.
Мысал: 50° + 60° + 70° = 180°
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Алгебра
Квадрат теңдеу
D = b² − 4ac; x = (−b ± √D)/(2a)
Алдымен коэффициенттерді анықта. Дискриминант түбірлердің санын көрсетеді.
Мысал: x² − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Геометрия
Пифагор теоремасы
c² = a² + b²
Гипотенуза тік бұрышқа қарсы жатады. Теореманы тек тікбұрышты үшбұрышқа қолдан.
Мысал: 3² + 4² = 25 → c = 5
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Функциялар
Квадрат функция
y = ax² + bx + c
Айнымалының мәнін формулаға қой. Нүктелерді координаталық жазықтықта белгіле.
Мысал: y = x² үшін x = 3 болса, y = 9
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Тізбектер
Арифметикалық прогрессия
aₙ = a₁ + (n − 1)d
Алғашқы мүшені, айырманы және ізделетін мүшенің нөмірін анықта.
Мысал: 2, 5, 8, 11: d = 3
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Ықтималдық
Ықтималдық және статистика
P = қолайлы жағдай саны / барлық жағдай саны
Барлық жағдайлар бірдей мүмкін болғанда ғана осы қатынасты қолдан.
Мысал: 6 жақты текшеде жұп сан түсу ықтималдығы: 3/6 = 1/2
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Тригонометрия
Тригонометриялық қатынастар
sin α = a/c; cos α = b/c
Алдымен бұрышқа қарсы және іргелес катеттерді ажырат.
Мысал: Қарсы катет 3, гипотенуза 5: sin α = 3/5
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Функциялар
Туынды
(xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹
Дәрежені коэффициентке шығар да, дәрежені бірге кеміт.
Мысал: (x³)′ = 3x²
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Алгебра
Логарифм
logₐ aⁿ = n
Логарифмді дәрежелік теңдікке айналдыр. Негіз оң және бірге тең емес болуы керек.
Мысал: log₂ 8 = 3, себебі 2³ = 8
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Геометрия
Стереометрия
V = abc; Vтекше = a³
Көлем бірлігін кубпен жаз. Негіздің ауданын биіктікке көбейт.
Мысал: Қыры 3 болатын текшенің көлемі: 27
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Анализ
Интеграл
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, n ≠ −1
Дәрежені бірге арттырып, жаңа дәрежеге бөл. Туынды алып тексер.
Мысал: ∫ 2x dx = x² + C
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Ықтималдық
Комбинаторика
Cₙ² = n(n − 1)/2
Таңдау реті маңызды ма? Комбинацияда рет есепке алынбайды.
Мысал: 5 адамнан 2 адамды таңдау: 10
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Функциялар
Көрсеткіштік теңдеу
aˣ = aⁿ → x = n, a > 0, a ≠ 1
Екі жағын бірдей негізге келтір. Содан кейін дәреже көрсеткіштерін салыстыр.
Мысал: 2ˣ = 16 → 2ˣ = 2⁴ → x = 4
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Сандар
Бөлінгіштік белгілері
3-ке бөліну: цифрлар қосындысы 3-ке бөлінеді
2 үшін соңғы цифрды, 3 және 9 үшін цифрлар қосындысын тексер. 5-ке бөлінетін сан 0 немесе 5-пен аяқталады.
Мысал: 123: 1 + 2 + 3 = 6, демек 123 саны 3-ке бөлінеді.
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Сандар
ЕҮОБ және ЕКОЕ
ЕҮОБ(a,b) · ЕКОЕ(a,b) = ab
Сандарды жай көбейткіштерге жікте. ЕҮОБ үшін ортақ көбейткіштердің ең кіші, ЕКОЕ үшін ең үлкен дәрежелерін ал.
Мысал: ЕҮОБ(12,18) = 6; ЕКОЕ(12,18) = 36
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Бөлшектер
Ондық бөлшектер
0,1 = 1/10; 0,01 = 1/100
Үтірлерді бір бағанға орналастыр. Разрядтарды теңестіру үшін соңына нөл жазуға болады.
Мысал: 2,35 + 1,40 = 3,75
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Шамалар
Қозғалысқа берілген есептер
s = vt; t = s/v; v = s/t
Не белгілі және не ізделетінін анықта. Жылдамдық пен уақыттың өлшем бірліктері сәйкес болуы керек.
Мысал: v = 60 км/сағ, t = 2 сағ → s = 120 км
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Координаталар
Координаталық сәуле
AB = |b − a|
Нөлден оңға қарай бірдей бірлік кесінділерді сана. Екі нүктенің арақашықтығы — координаталар айырмасының модулі.
Мысал: A(2), B(7) → AB = 5 бірлік
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Геометрия
Бұрыштар және оларды өлшеу
Тік бұрыш = 90°; жазыңқы бұрыш = 180°
Транспортир ортасын төбеге қой. Бір сәулені нөлдік белгімен сәйкестендіріп, дұрыс шкаланы оқы.
Мысал: Жазыңқы бұрыш 65° және 115° бөліктерге бөлінеді.
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Координаталар
Координаталық жазықтық
A(x; y): x — абсцисса, y — ордината
Алдымен Ox осі бойынша x-ті, содан кейін Oy бағытымен y-ті белгіле. Координаталардың ретін ауыстырма.
Мысал: A(3; −2): оңға 3, төмен 2 бірлік.
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Координаталар
Координаталық ширектер және симметрия
Ox: (x;y) → (x;−y); Oy: (x;y) → (−x;y)
I ширек (+;+), II (−;+), III (−;−), IV (+;−). Симметрияда қай координата таңбасын өзгертетінін түсіндір.
Мысал: A(2;−3) нүктесінің Ox-ке симметриялысы B(2;3).
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Функциялар
Тура пропорционалдық
y = kx
Коэффициенттің мағынасын анықта. x екі есе артса, y де екі есе артады. График координаталар басынан өтеді.
Мысал: Бір дәптер 120 теңге: 3 дәптерге y = 120 · 3 = 360 теңге.
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Қатынастар
Кері пропорционалдық
y = k/x, x ≠ 0
Бір шама артқанда екіншісі кемиді. Алдымен тұрақты көбейтінді k-ны тап; нөлге бөлуге болмайды.
Мысал: 12 км жол үшін v = 4 км/сағ болса, t = 12/4 = 3 сағ.
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Теңсіздіктер
Сызықтық теңсіздіктер
a < b, c < 0 → ac > bc
Екі жаққа бірдей санды қосуға болады. Теріс санға көбейткенде немесе бөлгенде теңсіздік белгісін кері ауыстыр.
Мысал: −2x < 6 → x > −3
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Сандар
Санның модулі
|a| = a (a ≥ 0); |a| = −a (a < 0)
Арақашықтық теріс болмайды. Модуль таңбаны емес, нөлден қанша бірлік алыстағанын көрсетеді.
Мысал: |−7| = 7; |4| = 4
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Функциялар
Функция және оның графигі
y = f(x); график: (x;f(x))
Аргумент пен функция мәнін ажырат. Мәндер кестесін құрып, әр жұпты жазықтықта белгіле.
Мысал: f(x) = 2x + 1 → f(3) = 7
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Функциялар
Сызықтық функция
y = kx + b
b — Oy осімен қиылысу ординатасы, k — көлбеулік коэффициенті. Екі нүкте арқылы түзу жүргіз.
Мысал: y = 2x − 1: (0;−1), (1;1), (2;3)
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Теңдеулер
Екі айнымалысы бар теңдеулер жүйесі
x + y = s; x − y = d → x = (s + d)/2
Қосу немесе алмастыру әдісін таңда. Табылған жұпты екі теңдеуге де қойып тексер.
Мысал: x + y = 8, x − y = 2 → x = 5, y = 3
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Алгебра
Көпмүшелер және ұқсас мүшелер
ax + bx = (a+b)x
Тек әріптік бөлігі мен дәрежелері сәйкес мүшелерді біріктір. x пен x² ұқсас мүшелер емес.
Мысал: 3x + 5x − 2 = 8x − 2
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Геометрия
Параллель түзулер және бұрыштар
Параллель түзулерде тұстас ішкі бұрыштар қосындысы 180°
Қиюшыны белгіле. Сәйкес және айқыш ішкі бұрыштар тең, ал тұстас ішкі бұрыштар толықтауыш болады.
Мысал: Тұстас ішкі бұрыштың бірі 70° болса, екіншісі 110°.
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Статистика
Орташа мән, медиана және мода
Орташа = (x₁ + … + xₙ)/n
Медиананы табу үшін алдымен деректерді ретте. Дерек саны жұп болса, ортадағы екі мәннің орташа мәнін ал.
Мысал: 2, 3, 3, 8: орташа 4; медиана 3; мода 3
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Алгебра
Квадрат түбір және оның қасиеттері
√(a²) = |a|
Квадрат түбірдің мәні теріс емес. √(a+b) әдетте √a + √b-ға тең емес.
Мысал: √49 = 7; √((−3)²) = 3
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Алгебра
Виет теоремасы
x² + px + q = 0: x₁ + x₂ = −p; x₁x₂ = q
Қосындысы −p, көбейтіндісі q болатын сандарды ізде. Жалпы теңдеуді алдымен a-ға бөліп келтір.
Мысал: x² − 7x + 12 = 0: түбірлер 3 және 4
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Алгебра
Рационал өрнектер
(x²−a²)/(x−a) = x+a, x ≠ a
Алым мен бөлімді көбейткіштерге жікте. Қысқартқаннан кейін де бастапқы өрнектің шектеулерін сақта.
Мысал: (x²−9)/(x−3) = x+3, x ≠ 3
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Функциялар
Параболаның төбесі және симметрия осі
x₀ = −b/(2a); y₀ = f(x₀), a ≠ 0
Алдымен x₀-ді тап, оны функцияға қойып y₀-ді есепте. a оң болса тармақтар жоғары бағытталады.
Мысал: y = x² − 4x + 3 → төбесі (2;−1)
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Геометрия
Төртбұрыштар және олардың аудандары
S = (a+b)h/2
Тек параллель қабырғалар табандар болады. Биіктік табандарға перпендикуляр, ол бүйір қабырғаға әрдайым тең емес.
Мысал: Табандары 4 және 8, биіктігі 3 → S = 18
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Геометрия
Үшбұрыштардың ұқсастығы
a₂/a₁ = b₂/b₁ = c₂/c₁ = k; S₂/S₁ = k²
Сәйкес төбелерді дұрыс жұпта. Ұзындық k есе, аудан k² есе өзгереді.
Мысал: k = 3 болса, 4 см қабырға 12 см-ге сәйкес келеді.
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Тізбектер
Геометриялық прогрессия
bₙ = b₁qⁿ⁻¹
Айырманы емес, көршілес мүшелердің қатынасын тексер. Бірінші мүшенің көрсеткіші нөл екенін ескер.
Мысал: 3, 6, 12, 24: q = 2
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Координаталар
Екі нүктенің арақашықтығы
AB = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
Координаталар айырмалары тікбұрышты үшбұрыштың катеттерін береді. Әр айырманы квадраттап, қосындыдан түбір ал.
Мысал: A(1;2), B(4;6) → AB = √(9+16) = 5
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Координаталар
Векторлар және олардың координаталары
AB⃗ = (xB−xA; yB−yA)
Соңғы нүкте координаталарынан бастапқы нүкте координаталарын азайт. AB⃗ және BA⃗ қарама-қарсы бағытталған.
Мысал: A(1;2), B(4;6) → AB⃗ = (3;4)
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Теңсіздіктер
Квадрат теңсіздіктер
a(x−x₁)(x−x₂): түбірлер арқылы аралықтарға бөл
Түбірлерді сан түзуіне белгіле. Әр аралықтағы таңбаны тексер; қатаң теңсіздікте түбірлер шешімге кірмейді.
Мысал: (x−2)(x−5) < 0 → 2 < x < 5
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Геометрия
Синустар және косинустар теоремалары
c² = a²+b²−2ab cos γ; a/sin α = b/sin β = c/sin γ
Бұрышқа қарсы жатқан қабырғаны дұрыс таңда. γ = 90° кезінде косинустар теоремасы Пифагор теоремасына айналады.
Мысал: a = 3, b = 4, γ = 90° → c = 5
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Функциялар
Функция графигін түрлендіру
y = f(x−h)+k: оңға h, жоғары k
Жақша ішіндегі таңбаға назар аудар: x−2 графикті оңға жылжытады. Сырттағы +3 жоғары жылжытады.
Мысал: y = (x−2)²+3 → төбесі (2;3)
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Функциялар
Анықталу облысы және мәндер жиыны
√(x−a): x ≥ a; 1/(x−a): x ≠ a
Бөлім нөл болмауы керек, нақты квадрат түбір астындағы өрнек теріс емес. Шектеулерді бірге қарастыр.
Мысал: f(x) = √(x−3) → D(f) = [3;+∞)
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Функциялар
Жұп және тақ функциялар
Жұп: f(−x)=f(x); тақ: f(−x)=−f(x)
Формулаға −x қойып ықшамда. Тек графикке қарап қорытынды жасамай, теңдікті тексер.
Мысал: x² — жұп, x³ — тақ функция.
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Тригонометрия
Тригонометриялық функциялардың графиктері
sin(x+2π)=sin x; cos(x+2π)=cos x
График үшін радиан өлшемін қолдан. Амплитуда мен периодты ажырат. tan x үшін cos x ≠ 0 болуы қажет.
Мысал: sin 0 = 0; sin(π/2) = 1; cos 0 = 1
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Анализ
Жанама теңдеуі
y = f(x₀)+f′(x₀)(x−x₀)
Нүктенің ординатасы мен көлбеулікті бөлек тап. Жанама теңдеуін бастапқы нүктеге қойып тексер.
Мысал: f(x)=x², x₀=2 → y=4+4(x−2)=4x−4
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Анализ
Функцияның өсуі және кемуі
f′(x)>0 → өсу; f′(x)<0 → кему
Туындыны тап. Оның нөлдері мен анықталмаған нүктелері арқылы аралықтарға бөліп, әр аралықтағы таңбасын тексер.
Мысал: f(x)=x²: (−∞;0] аралығында кемиді, [0;+∞) аралығында өседі.
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Геометрия
Призма және пирамида
Vпризма = Sтаб h; Vпирамида = Sтаб h/3
Биіктік — төбеден табан жазықтығына түсірілген перпендикуляр. Бүйір қырды биіктікпен шатастырма.
Мысал: Sтаб = 12, h = 6 → Vпирамида = 24
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Функциялар
Көрсеткіштік функция
y = aˣ, a > 0, a ≠ 1
a > 1 болса функция өседі, 0 < a < 1 болса кемиді. Барлық нақты x рұқсат етіледі, y әрқашан оң.
Мысал: y = 2ˣ: (−1;0,5), (0;1), (1;2)
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Функциялар
Логарифмдік функция
y = logₐ x, x > 0, a > 0, a ≠ 1
Аргумент тек оң болады. (1;0) нүктесі барлық рұқсат етілген негіздер үшін графикте жатады.
Мысал: y = log₂ x: (1;0), (2;1), (4;2)
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Теңдеулер
Логарифмдік теңдеулер
logₐ(x+b)=c → x+b=aᶜ
Алдымен анықталу облысын жаз. Дәрежелік теңдікке көшіп, соңында түбірдің шектеулерге сәйкестігін тексер.
Мысал: log₂(x+1)=3 → x=7, x>−1
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Анализ
Анықталған интеграл және аудан
∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)−F(a)
Алғашқы функцияны тап, жоғарғы шектегі мәннен төменгі шектегі мәнді азайт. Осьтен төмен бөліктер үшін геометриялық аудан таңбасын ескер.
Мысал: ∫₀² 2x dx = [x²]₀² = 4
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Геометрия
Цилиндр, конус және шар
Vц = πr²h; Vк = πr²h/3; Vш = 4πr³/3
Радиус пен диаметрді ажырат. Көлем үшін куб бірліктерін қолдан; π көбейткішін сақтауға болады.
Мысал: r = 2, h = 3 → Vц = 12π
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Ықтималдық
Биномдық үлестірім
P(X=k)=Cₙᵏpᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ; E(X)=np
Сынақтардың тәуелсіздігін және p тұрақтылығын тексер. Күтілетін мән нақты алынатын нәтиже міндетті түрде емес.
Мысал: 10 сынақ, p=0,3 → күтілетін табыс саны 3
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Сандар
Нөл саны және разрядтық жазылу
abc = 100a + 10b + c
Нөл санақтағы заттың жоқтығын білдіреді; цифр орны оның разрядтық мәнін анықтайды. Негізгі байланыс: abc = 100a + 10b + c. Мысалды зертте: 407 = 400 + 7. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 407 = 400 + 7
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Сандар
Натурал сандарды салыстыру
a > b ⇔ a − b > 0
Разряд саны бірдей сандар солдан оңға қарай алғашқы өзгеше цифр бойынша салыстырылады. Негізгі байланыс: a > b ⇔ a − b > 0. Мысалды зертте: 358 > 349, өйткені ондықтары 5 > 4.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 358 > 349, өйткені ондықтары 5 > 4.
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Сандар
Амалдардың орындалу реті
a + bc: алдымен bc
Жақша ішіндегі амалдар бірінші, көбейту мен бөлу қосу мен азайтудан бұрын орындалады. Негізгі байланыс: a + bc: алдымен bc. Мысалды зертте: 6 + 4 · 3 = 18. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 6 + 4 · 3 = 18
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Сандар
Санның квадраты және кубы
a² = a·a; a³ = a·a·a
Квадрат — екі, куб — үш бірдей көбейткіштің көбейтіндісі. Негізгі байланыс: a² = a·a; a³ = a·a·a. Мысалды зертте: 4³ = 64. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 4³ = 64
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Сандар
Жай және құрама сандар
Жай сан: бөлгіштері 1 және p
Жай санның екі оң бөлгіші бар; құрама санның екіден көп бөлгіші болады. Бір саны екеуіне де жатпайды. Негізгі байланыс: Жай сан: бөлгіштері 1 және p. Мысалды зертте: 7 — жай; 9 — құрама: 1, 3, 9.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 7 — жай; 9 — құрама: 1, 3, 9.
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Бөлшектер
Аралас сандар
m a/b = (mb+a)/b
Аралас сан бүтін бөліктен және дұрыс бөлшектен тұрады. Негізгі байланыс: m a/b = (mb+a)/b. Мысалды зертте: 2 1/3 = 7/3. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 2 1/3 = 7/3
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Бөлшектер
Бөлшектің негізгі қасиеті
a/b = ak/(bk), b≠0, k≠0
Алым мен бөлімді бірдей нөлден өзге санға көбейту немесе бөлу бөлшек мәнін өзгертпейді. Негізгі байланыс: a/b = ak/(bk), b≠0, k≠0. Мысалды зертте: 6/9 = 2/3. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 6/9 = 2/3
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Бөлшектер
Бөлімдері әртүрлі бөлшектерді қосу
a/b+c/d = (ad+bc)/(bd)
Қосу алдында бөлшектер ортақ бөлімге келтіріледі. Негізгі байланыс: a/b+c/d = (ad+bc)/(bd). Мысалды зертте: 1/2 + 1/3 = 5/6. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 1/2 + 1/3 = 5/6
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Бөлшектер
Жай бөлшектерді көбейту және бөлу
a/b : c/d = ad/(bc), b,c,d≠0
Көбейткенде алымдар мен бөлімдер көбейтіледі; бөлгенде екінші бөлшектің кері саны қолданылады. Негізгі байланыс: a/b : c/d = ad/(bc), b,c,d≠0. Мысалды зертте: 2/3 · 3/4 = 1/2. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 2/3 · 3/4 = 1/2
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Бөлшектер
Ондық бөлшектерді көбейту және бөлу
a : 0,1 = 10a
Ондық бөлшекті көбейтуде разрядтық мәндер, бөлуде бөлгішті бүтін ету қолданылады. Негізгі байланыс: a : 0,1 = 10a. Мысалды зертте: 1,2 · 0,5 = 0,6. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 1,2 · 0,5 = 0,6
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Шамалар
Дөңгелектеу және жуықтау
Келесі цифр ≥5 → +1
Дөңгелектеуде келесі цифр 5 немесе одан үлкен болса сақталатын цифр бірге артады. Негізгі байланыс: Келесі цифр ≥5 → +1. Мысалды зертте: 3,746 ≈ 3,75 (жүздікке дейін). Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 3,746 ≈ 3,75 (жүздікке дейін)
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Жиындар
Жиын және оның элементтері
A∩B — ортақ элементтер; A∪B — барлық элементтер
Жиын — ортақ белгімен біріктірілген объектілер; элементтің тиесілігі ∈ белгісімен жазылады. Негізгі байланыс: A∩B — ортақ элементтер; A∪B — барлық элементтер. Мысалды зертте: {1,2,3} ∩ {2,3,4} = {2,3}. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: {1,2,3} ∩ {2,3,4} = {2,3}
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Пайыздар
Санның пайызын және пайыз бойынша санды табу
a = b·100/p, p≠0
Бүтін санды пайыздық бөлік арқылы табу үшін бөлікті пайыз үлесіне бөлеміз. Негізгі байланыс: a = b·100/p, p≠0. Мысалды зертте: Санның 20%-ы 12 болса, сан 60.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Санның 20%-ы 12 болса, сан 60.
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Геометрия
Тікбұрышты параллелепипедтің көлемі
V=abc
Тікбұрышты параллелепипедтің көлемі үш өлшемінің көбейтіндісіне тең. Негізгі байланыс: V=abc. Мысалды зертте: 2×3×4 өлшемді дененің көлемі 24.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 2×3×4 өлшемді дененің көлемі 24.
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Статистика
Диаграммалар және деректерді оқу
Жалпы саны = жеке жиіліктер қосындысы
Бағандық диаграмма шамаларды биіктіктер арқылы салыстырады; осьтің масштабы міндетті түрде ескеріледі. Негізгі байланыс: Жалпы саны = жеке жиіліктер қосындысы. Мысалды зертте: А: 4, В: 6 → барлығы 10.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: А: 4, В: 6 → барлығы 10.
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Қатынастар
Қатынас және пропорцияның негізгі қасиеті
a/b=c/d ⇔ ad=bc, b,d≠0
Пропорция — екі қатынастың теңдігі; шеткі мүшелер көбейтіндісі ортаңғы мүшелер көбейтіндісіне тең. Негізгі байланыс: a/b=c/d ⇔ ad=bc, b,d≠0. Мысалды зертте: 2/3 = 8/12. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 2/3 = 8/12
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Қатынастар
Масштаб
1:n → нақты ұзындық = карта ұзындығы·n
Масштаб — сызбадағы ұзындықтың шынайы ұзындыққа қатынасы; бірліктер бірдей болуы керек. Негізгі байланыс: 1:n → нақты ұзындық = карта ұзындығы·n. Мысалды зертте: 1:100 масштабта 2 см — шындықта 2 м.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 1:100 масштабта 2 см — шындықта 2 м.
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Геометрия
Шеңбер ұзындығы және дөңгелек ауданы
C=2πr; S=πr²
Шеңбер — центрден бірдей қашықтықтағы нүктелер; дөңгелек — ішкі аймақпен бірге алынған фигура. Негізгі байланыс: C=2πr; S=πr². Мысалды зертте: r=3 → C=6π, S=9π. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: r=3 → C=6π, S=9π
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Сандар
Оң және теріс сандарды салыстыру
−a < −b, егер a>b>0
Координаталық түзуде оң жақтағы сан үлкен; теріс сандарда модулі үлкен сан кіші болады. Негізгі байланыс: −a < −b, егер a>b>0. Мысалды зертте: −7 < −3. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: −7 < −3
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Сандар
Рационал сандарды көбейту және бөлу
(−a)(−b)=ab; (−a)b=−ab
Таңбалары бірдей сандардың көбейтіндісі оң, әртүрлі болса теріс болады. Негізгі байланыс: (−a)(−b)=ab; (−a)b=−ab. Мысалды зертте: −6 · (−3) = 18. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: −6 · (−3) = 18
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Сандар
Периодты ондық бөлшектер
0,(a)=a/9 (бір цифрлы период)
Периодты бөлшекте үтірден кейін бір немесе бірнеше цифр шексіз қайталанады. Негізгі байланыс: 0,(a)=a/9 (бір цифрлы период). Мысалды зертте: 0,(3)=1/3. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 0,(3)=1/3
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Алгебра
Әріпті өрнектер және жақшаларды ашу
a(b+c)=ab+ac
Үлестірімділік көбейтуді қосындының әр мүшесіне қолдануға мүмкіндік береді. Негізгі байланыс: a(b+c)=ab+ac. Мысалды зертте: 3(x+2)=3x+6. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 3(x+2)=3x+6
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Теңдеулер
Мәтінді есепті теңдеу арқылы шешу
Шарт → модель → шешім → тексеру
Белгісіз шаманы әріппен белгілеп, шарттағы байланыстан теңдеу құрамыз. Негізгі байланыс: Шарт → модель → шешім → тексеру. Мысалды зертте: Екі сан қосындысы 12, бірі 5: x+5=12.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Екі сан қосындысы 12, бірі 5: x+5=12.
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Теңдеулер
Модулі бар қарапайым теңдеулер
|x|=a → x=±a, a≥0
Модуль теңдеуі нөлден берілген қашықтықтағы нүктелерді сипаттайды. Негізгі байланыс: |x|=a → x=±a, a≥0. Мысалды зертте: |x−2|=3 → x=5 немесе x=−1. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: |x−2|=3 → x=5 немесе x=−1
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Теңсіздіктер
Сан аралықтары
a<x≤b → (a;b]
Сан аралығы теңсіздікке сәйкес нүктелер жиыны; дөңгелек жақша шекараны қоспайды. Негізгі байланыс: a<x≤b → (a;b]. Мысалды зертте: −1<x≤3 → (−1;3]. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: −1<x≤3 → (−1;3]
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Теңсіздіктер
Сызықтық теңсіздіктер жүйесі
Жүйе → аралықтардың қиылысуы
Жүйенің шешімі барлық теңсіздіктердің шешімдерінің қиылысуы болады. Негізгі байланыс: Жүйе → аралықтардың қиылысуы. Мысалды зертте: x>1 және x≤4 → (1;4]. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: x>1 және x≤4 → (1;4]
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Координаталар
Перпендикуляр және параллель түзулер
a⊥b → бұрыш 90°
Перпендикуляр түзулер тік бұрыш жасап қиылысады; параллель түзулер бір жазықтықта қиылыспайды. Негізгі байланыс: a⊥b → бұрыш 90°. Мысалды зертте: Ox және Oy осьтері перпендикуляр.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Ox және Oy осьтері перпендикуляр.
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Статистика
Құлаш және деректерді реттеу
R=xmax−xmin
Құлаш — ең үлкен және ең кіші деректер айырмасы; орташа мәнмен шатастырмау керек. Негізгі байланыс: R=xmax−xmin. Мысалды зертте: 2,5,9 → R=7. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 2,5,9 → R=7
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Комбинаторика
Іріктеу әдісімен комбинацияларды санау
n таңдау және m таңдау → nm жұп
Шағын таңдау есептерін мүмкін жағдайларды қайталамай тізу арқылы шешуге болады. Негізгі байланыс: n таңдау және m таңдау → nm жұп. Мысалды зертте: 2 көйлек пен 3 шалбар → 6 жиынтық.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 2 көйлек пен 3 шалбар → 6 жиынтық.
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Шамалар
Шамалар арасындағы тәуелділіктер
Құн = баға·саны
Кесте, формула және график бір байланысты әртүрлі түрде көрсетеді. Негізгі байланыс: Құн = баға·саны. Мысалды зертте: Бір зат 200 теңге: 3 зат 600 теңге.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Бір зат 200 теңге: 3 зат 600 теңге.
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Алгебра
Бүтін көрсеткішті дәреже
a⁻ⁿ=1/aⁿ, a≠0; a⁰=1
Теріс көрсеткішті дәреже — оң көрсеткішті дәреженің кері саны; негіз нөл болмауы керек. Негізгі байланыс: a⁻ⁿ=1/aⁿ, a≠0; a⁰=1. Мысалды зертте: 2⁻³=1/8. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 2⁻³=1/8
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Алгебра
Санның стандарт түрі
N=a·10ⁿ
Стандарт жазылуда сан 1≤|a|<10 шартымен a·10ⁿ түрінде беріледі. Негізгі байланыс: N=a·10ⁿ. Мысалды зертте: 45000=4,5·10⁴. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 45000=4,5·10⁴
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Алгебра
Көпмүшелерді көбейту
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
Әр көбейткіштің әр мүшесі екінші көбейткіштің әр мүшесіне көбейтіледі. Негізгі байланыс: (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd. Мысалды зертте: (x+2)(x+3)=x²+5x+6. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: (x+2)(x+3)=x²+5x+6
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Алгебра
Ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару
ab+ac=a(b+c)
Әр мүшеде бар көбейткіш жақша сыртына шығарылады. Негізгі байланыс: ab+ac=a(b+c). Мысалды зертте: 6x+9=3(2x+3). Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 6x+9=3(2x+3)
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Алгебра
Квадраттар айырымы
a²−b²=(a−b)(a+b)
Екі квадраттың айырымы қосынды мен айырманың көбейтіндісіне жіктеледі. Негізгі байланыс: a²−b²=(a−b)(a+b). Мысалды зертте: 25−9=(5−3)(5+3)=16. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 25−9=(5−3)(5+3)=16
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Алгебра
Кубтардың қосындысы және айырымы
a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²)
Кубтарды жіктегенде екінші көбейткіштегі ортаңғы мүшенің таңбасына назар аудару керек. Негізгі байланыс: a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²). Мысалды зертте: 2³+3³=5·7=35. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 2³+3³=5·7=35
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Алгебра
Алгебралық бөлшектерді қысқарту
ab/ac=b/c, a,c≠0
Алгебралық бөлшекті қысқарту көбейткіштерге жүргізіледі; бөлімнің нөл болмау шарты сақталады. Негізгі байланыс: ab/ac=b/c, a,c≠0. Мысалды зертте: 6x/(3x)=2, x≠0. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 6x/(3x)=2, x≠0
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Функциялар
Сызықтық графиктердің өзара орналасуы
k₁=k₂, b₁≠b₂ → параллель
Көлбеулік коэффициенттері әртүрлі түзулер қиылысады; бірдей көлбеулік пен әртүрлі бос мүше параллель түзулер береді. Негізгі байланыс: k₁=k₂, b₁≠b₂ → параллель. Мысалды зертте: y=2x+1 және y=2x−3 параллель.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: y=2x+1 және y=2x−3 параллель.
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Функциялар
y=ax² және y=ax³ функциялары
y=ax²; y=ax³
Квадрат функция Oy осіне симметриялы; куб функция координаталар басына симметриялы болады. Негізгі байланыс: y=ax²; y=ax³. Мысалды зертте: y=2x³ үшін x=−2 → y=−16. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: y=2x³ үшін x=−2 → y=−16
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Геометрия
Сыбайлас және вертикаль бұрыштар
α+β=180°; вертикаль α=γ
Вертикаль бұрыштар тең; сыбайлас бұрыштардың қосындысы жазық бұрышқа тең. Негізгі байланыс: α+β=180°; вертикаль α=γ. Мысалды зертте: Сыбайлас 40° және 140°.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Сыбайлас 40° және 140°.
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Геометрия
Үшбұрыштардың теңдік белгілері
ҚБҚ; БҚБ; ҚҚҚ
Үшбұрыштар екі қабырға және аралық бұрыш, бір қабырға және іргелес екі бұрыш, не үш қабырға бойынша тең болуы мүмкін. Негізгі байланыс: ҚБҚ; БҚБ; ҚҚҚ. Мысалды зертте: Сәйкес қабырғалары 3,4,5 болатын екі үшбұрыш тең.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Сәйкес қабырғалары 3,4,5 болатын екі үшбұрыш тең.
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Геометрия
Теңбүйірлі үшбұрыштың қасиеттері
β=γ=(180°−α)/2
Екі қабырғасы тең үшбұрышта табан бұрыштары тең болады. Негізгі байланыс: β=γ=(180°−α)/2. Мысалды зертте: Төбе бұрышы 40° → табан бұрыштары 70°.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Төбе бұрышы 40° → табан бұрыштары 70°.
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Геометрия
Медиана, биссектриса және биіктік
Медиана: BM=MC; биіктік: AH⊥BC
Медиана қарсы қабырғаны тең бөледі; биссектриса бұрышты тең бөледі; биіктік қарсы түзуге перпендикуляр. Негізгі байланыс: Медиана: BM=MC; биіктік: AH⊥BC. Мысалды зертте: BC=10 болса медиана табанындағы BM=5.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: BC=10 болса медиана табанындағы BM=5.
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Геометрия
Үшбұрыш теңсіздігі және сыртқы бұрыш
|a−b|<c<a+b; сыртқы γ=α+β
Үшбұрыштың әр қабырғасы қалған екеуінің қосындысынан кіші; сыртқы бұрыш іргелес емес екі ішкі бұрыштың қосындысына тең. Негізгі байланыс: |a−b|<c<a+b; сыртқы γ=α+β. Мысалды зертте: Ішкі 40°,60° → сыртқы бұрыш 100°.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Ішкі 40°,60° → сыртқы бұрыш 100°.
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Статистика
Абсолют және салыстырмалы жиілік
w=nᵢ/N; Σw=1
Абсолют жиілік — қайталану саны, салыстырмалы жиілік — оның бақылаулар санына қатынасы. Негізгі байланыс: w=nᵢ/N; Σw=1. Мысалды зертте: 20 жауаптың 5-еуі А → w=0,25.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 20 жауаптың 5-еуі А → w=0,25.
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Алгебра
Иррационал сандар және нақты сандар
ℝ=ℚ∪иррационал сандар
Иррационал санды екі бүтін сан қатынасымен жазу мүмкін емес; рационал және иррационал сандар нақты сандар жиынын құрайды. Негізгі байланыс: ℝ=ℚ∪иррационал сандар. Мысалды зертте: √2 иррационал; √9=3 рационал.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: √2 иррационал; √9=3 рационал.
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Алгебра
Түбір астынан көбейткіш шығару
√(a²b)=|a|√b, b≥0
Толық квадрат көбейткішті түбірден шығарғанда модуль ескеріледі. Негізгі байланыс: √(a²b)=|a|√b, b≥0. Мысалды зертте: √72=6√2. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: √72=6√2
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Алгебра
Бөлімді иррационалдықтан арылту
1/√a=√a/a, a>0
Алым мен бөлімді бірдей түбірлі өрнекке көбейту бөлшекті өзгертпей бөлімді рационал етеді. Негізгі байланыс: 1/√a=√a/a, a>0. Мысалды зертте: 1/√3=√3/3. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 1/√3=√3/3
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Теңдеулер
Толымсыз квадрат теңдеулер
ax²+bx=x(ax+b)
Квадрат теңдеуде сызықтық немесе бос мүше жоқ болса түбір шығару не көбейткішке жіктеу қолданылады. Негізгі байланыс: ax²+bx=x(ax+b). Мысалды зертте: x²−9=0 → x=±3. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: x²−9=0 → x=±3
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Теңдеулер
Дискриминант және түбірлер саны
D=b²−4ac
Нақты түбірлер саны дискриминанттың таңбасына тәуелді: оң болса екі, нөл болса бір, теріс болса жоқ. Негізгі байланыс: D=b²−4ac. Мысалды зертте: x²−4x+4: D=0. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: x²−4x+4: D=0
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Теңдеулер
Бөлшек-рационал теңдеулер
Бөлім ≠0
Рационал теңдеуде бөлімдерді жою алдында анықталу шартын жазу және түбірді тексеру қажет. Негізгі байланыс: Бөлім ≠0. Мысалды зертте: 1/(x−1)=2 → x=1,5, x≠1. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 1/(x−1)=2 → x=1,5, x≠1
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Теңдеулер
Квадрат теңдеуге келтірілетін мәтінді есептер
S=x(x+d)
Көбейтінді немесе ауданға қатысты шарт квадрат теңдеуге әкелуі мүмкін. Негізгі байланыс: S=x(x+d). Мысалды зертте: Қабырғалары x және x+1, аудан 6 → x=2.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Қабырғалары x және x+1, аудан 6 → x=2.
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Теңсіздіктер
Квадрат теңсіздікті графикпен шешу
a>0: екі түбірдің сыртында f(x)>0
Параболаның осьтен жоғары немесе төмен жатқан бөліктері өрнектің таңбасын көрсетеді. Негізгі байланыс: a>0: екі түбірдің сыртында f(x)>0. Мысалды зертте: x²−4<0 → −2<x<2. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: x²−4<0 → −2<x<2
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Статистика
Интервалдық кесте және гистограмма
N=Σnᵢ
Интервалдық кесте деректерді аралықтарға біріктіреді; тең енді аралықтарда баған биіктіктері жиіліктерді көрсетеді. Негізгі байланыс: N=Σnᵢ. Мысалды зертте: 0–10: 4; 10–20: 6 → N=10.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 0–10: 4; 10–20: 6 → N=10.
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Геометрия
Параллелограммның қасиеттері
P=2(a+b)
Параллелограммда қарама-қарсы қабырғалар мен бұрыштар тең, диагональдар қиылысу нүктесінде тең бөлінеді. Негізгі байланыс: P=2(a+b). Мысалды зертте: Қабырғалары 5 және 8 → P=26.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Қабырғалары 5 және 8 → P=26.
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Геометрия
Ромб және тіктөртбұрыш
Sромб=d₁d₂/2
Ромбтың барлық қабырғалары тең; тіктөртбұрыштың барлық бұрыштары тік болады. Негізгі байланыс: Sромб=d₁d₂/2. Мысалды зертте: Ромб диагональдары 6 және 8 → S=24.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Ромб диагональдары 6 және 8 → S=24.
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Геометрия
Фалес теоремасы және орта сызық
MN=BC/2
Үшбұрыштың екі қабырғасының ортасын қосатын кесінді үшінші қабырғаға параллель және оның жартысына тең. Негізгі байланыс: MN=BC/2. Мысалды зертте: BC=14 → орта сызық 7.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: BC=14 → орта сызық 7.
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Геометрия
Үшбұрыш және параллелограмм ауданы
Sүшб=ah/2; Sпар=ah
Аудан табан мен оған түсірілген биіктік арқылы есептеледі; көлбеу қабырға биіктік емес. Негізгі байланыс: Sүшб=ah/2; Sпар=ah. Мысалды зертте: Табан 8, биіктік 3 → үшбұрыш ауданы 12.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Табан 8, биіктік 3 → үшбұрыш ауданы 12.
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Геометрия
Тікбұрышты үшбұрыштың тригонометриясы
tan α=sin α/cos α=a/b
Сүйір бұрыштың тангенсі қарсы катеттің іргелес катетке қатынасына тең. Негізгі байланыс: tan α=sin α/cos α=a/b. Мысалды зертте: Қарсы катет 3, іргелес 4 → tan α=0,75.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Қарсы катет 3, іргелес 4 → tan α=0,75.
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Геометрия
Шеңберге іштей сызылған бұрыш
α=β/2
Іштей сызылған бұрыш өзі тірелетін доғаға сәйкес центрлік бұрыштың жартысына тең. Негізгі байланыс: α=β/2. Мысалды зертте: Центрлік 100° → іштей сызылған 50°.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Центрлік 100° → іштей сызылған 50°.
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Алгебра
Екі айнымалысы бар сызықтық емес теңдеу
x²+y²=r²
Екі айнымалының дәрежелері немесе көбейтіндісі бар теңдеудің шешімі координаталар жұбы болады. Негізгі байланыс: x²+y²=r². Мысалды зертте: x²+y²=25 үшін (3;4) — шешім.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: x²+y²=25 үшін (3;4) — шешім.
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Теңдеулер
Сызықтық емес теңдеулер жүйесі
y=s−x → екінші теңдеуге қою
Сызықтық емес жүйеде алмастыру бір айнымалысы бар теңдеуге келтіруі мүмкін. Негізгі байланыс: y=s−x → екінші теңдеуге қою. Мысалды зертте: x+y=5, xy=6 → (2;3),(3;2).. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: x+y=5, xy=6 → (2;3),(3;2).
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Теңсіздіктер
Екі айнымалысы бар теңсіздіктер
y>f(x) → графиктен жоғары аймақ
Екі айнымалы теңсіздігінің шешімі жазықтықтағы аймақ; шекараның қосылуы белгіге байланысты. Негізгі байланыс: y>f(x) → графиктен жоғары аймақ. Мысалды зертте: y>x+1 үшін (0;2) жарайды.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: y>x+1 үшін (0;2) жарайды.
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Тізбектер
Арифметикалық прогрессияның қосындысы
Sₙ=n(a₁+aₙ)/2
Бірінші және соңғы мүшелер қосындысының жартысын мүше санына көбейту қосындыны береді. Негізгі байланыс: Sₙ=n(a₁+aₙ)/2. Мысалды зертте: 1+2+3+4+5=15. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 1+2+3+4+5=15
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Тізбектер
Геометриялық прогрессияның қосындысы
Sₙ=b₁(qⁿ−1)/(q−1), q≠1
Геометриялық прогрессия қосындысы еселікке байланысты формуламен табылады. Негізгі байланыс: Sₙ=b₁(qⁿ−1)/(q−1), q≠1. Мысалды зертте: 2+4+8=14. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 2+4+8=14
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Тізбектер
Шексіз кемімелі геометриялық прогрессия
S=b₁/(1−q), |q|<1
Еселік модулі бірден кіші болса шексіз геометриялық қатардың қосындысы бар. Негізгі байланыс: S=b₁/(1−q), |q|<1. Мысалды зертте: 1+1/2+1/4+…=2. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 1+1/2+1/4+…=2
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Комбинаторика
Алмастырулар, орналастырулар және терулер
Pₙ=n!; Aₙᵏ=n!/(n−k)!; Cₙᵏ=n!/(k!(n−k)!)
Рет маңызды болса орналастыру, барлық элементтің реті өзгерсе алмастыру, рет маңызды болмаса теру қолданылады. Негізгі байланыс: Pₙ=n!; Aₙᵏ=n!/(n−k)!; Cₙᵏ=n!/(k!(n−k)!). Мысалды зертте: 3 кітапты 3!=6 тәсілмен орналастырамыз.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 3 кітапты 3!=6 тәсілмен орналастырамыз.
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Тригонометрия
Радиандық өлшем және бірлік шеңбер
180°=π рад
Бір радиан — доға ұзындығы радиусқа тең болатын центрлік бұрыш; толық айналым 2π радиан. Негізгі байланыс: 180°=π рад. Мысалды зертте: 90°=π/2 рад. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 90°=π/2 рад
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Тригонометрия
Негізгі тригонометриялық тепе-теңдік
sin²α+cos²α=1
Бірлік шеңбердегі координаталар квадраттарының қосындысы бірге тең. Негізгі байланыс: sin²α+cos²α=1. Мысалды зертте: sin α=3/5, α сүйір → cos α=4/5.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: sin α=3/5, α сүйір → cos α=4/5.
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Тригонометрия
Қосу және қос бұрыш формулалары
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; sin2α=2sinαcosα
Қосу формулалары күрделі бұрыштарды белгілі бұрыштар арқылы өрнектеуге мүмкіндік береді. Негізгі байланыс: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; sin2α=2sinαcosα. Мысалды зертте: sin60°=sin(30°+30°). Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: sin60°=sin(30°+30°)
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Координаталар
Кесіндінің ортасы және шеңбер теңдеуі
M=((x₁+x₂)/2;(y₁+y₂)/2); (x−a)²+(y−b)²=r²
Кесінді ортасының координаталары ұштарының координаталарының орташа мәндері; шеңбер теңдеуі центрден қашықтықты береді. Негізгі байланыс: M=((x₁+x₂)/2;(y₁+y₂)/2); (x−a)²+(y−b)²=r². Мысалды зертте: A(2;4),B(6;8) → M(4;6).. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: A(2;4),B(6;8) → M(4;6).
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Координаталар
Векторлардың скаляр көбейтіндісі
a·b=x₁x₂+y₁y₂=|a||b|cosα
Скаляр көбейтінді координаталар бойынша немесе ұзындықтар мен аралық бұрыш арқылы табылады. Негізгі байланыс: a·b=x₁x₂+y₁y₂=|a||b|cosα. Мысалды зертте: (1;2)·(3;4)=11. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: (1;2)·(3;4)=11
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Геометрия
Дұрыс көпбұрыштар
Ішкі бұрыштар қосындысы=(n−2)180°
Дұрыс көпбұрыштың барлық қабырғалары және барлық ішкі бұрыштары тең. Негізгі байланыс: Ішкі бұрыштар қосындысы=(n−2)180°. Мысалды зертте: Алтыбұрыштың қосындысы 720°.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Алтыбұрыштың қосындысы 720°.
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Геометрия
Шеңбер доғасы және сектор ауданы
Sсектор=πr²α/360°
Сектор — екі радиус пен доғамен шектелген дөңгелек бөлігі; үлесі центрлік бұрыштың толық айналымға қатынасына тең. Негізгі байланыс: Sсектор=πr²α/360°. Мысалды зертте: r=6, α=90° → S=9π.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: r=6, α=90° → S=9π.
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Геометрия
Қозғалыстар және гомотетия
S₂=k²S₁
Қозғалыс қашықтықтарды сақтайды; гомотетия ұзындықтарды |k|, аудандарды k² есеге өзгертеді. Негізгі байланыс: S₂=k²S₁. Мысалды зертте: k=2 болса аудан 4 есе артады.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: k=2 болса аудан 4 есе артады.
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Функциялар
Күрделі және кері функция
(f∘g)(x)=f(g(x))
Күрделі функцияда бір функцияның нәтижесі екіншісінің аргументі болады; кері функция тәуелділікті кері бағытта береді. Негізгі байланыс: (f∘g)(x)=f(g(x)). Мысалды зертте: f(x)=2x, g(x)=x+3 → f(g(1))=8.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: f(x)=2x, g(x)=x+3 → f(g(1))=8.
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Функциялар
Функцияның периодтылығы
f(x+T)=f(x)
Периодты функцияның мәндері нөлден өзге белгілі T қадамнан кейін қайталанады. Негізгі байланыс: f(x+T)=f(x). Мысалды зертте: sin x функциясының ең кіші оң периоды 2π.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: sin x функциясының ең кіші оң периоды 2π.
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Тригонометрия
Кері тригонометриялық функциялар
arcsin x∈[−π/2;π/2]; arccos x∈[0;π]
Арксинус пен арккосинус негізгі аралықта берілген тригонометриялық мәнге сәйкес бұрышты қайтарады. Негізгі байланыс: arcsin x∈[−π/2;π/2]; arccos x∈[0;π]. Мысалды зертте: arcsin(1/2)=π/6. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: arcsin(1/2)=π/6
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Теңдеулер
Қарапайым тригонометриялық теңдеулер
sin x=0 → x=πk; cos x=0 → x=π/2+πk
Периодты функция теңдеулерінің барлық түбірлері бүтін k арқылы жазылады. Негізгі байланыс: sin x=0 → x=πk; cos x=0 → x=π/2+πk. Мысалды зертте: sin x=0, [0;2π] → 0,π,2π.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: sin x=0, [0;2π] → 0,π,2π.
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Теңсіздіктер
Тригонометриялық теңсіздіктер
sin x>0 → 2πk<x<π+2πk
Тригонометриялық теңсіздіктер бірлік шеңбер мен периодтылық арқылы шешіледі. Негізгі байланыс: sin x>0 → 2πk<x<π+2πk. Мысалды зертте: [0;2π] аралығында sin x>0: (0;π).. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: [0;2π] аралығында sin x>0: (0;π).
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Анализ
Функцияның шегі және үзіліссіздігі
Үзіліссіз f: lim x→a f(x)=f(a)
Шек аргумент нүктеге жақындағанда функция мәнінің қандай санға жақындайтынын сипаттайды. Негізгі байланыс: Үзіліссіз f: lim x→a f(x)=f(a). Мысалды зертте: lim x→2 (x²+1)=5. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: lim x→2 (x²+1)=5
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Анализ
Туындыны есептеу ережелері
(uv)′=u′v+uv′; (u/v)′=(u′v−uv′)/v²
Қосынды, көбейтінді және бөліндінің туындылары өз ережелерімен табылады. Негізгі байланыс: (uv)′=u′v+uv′; (u/v)′=(u′v−uv′)/v². Мысалды зертте: (x²+3x)′=2x+3. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: (x²+3x)′=2x+3
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Анализ
Күрделі функцияның туындысы
(f(g(x)))′=f′(g(x))g′(x)
Күрделі функцияның туындысында сыртқы функция туындысы ішкі функцияның туындысына көбейтіледі. Негізгі байланыс: (f(g(x)))′=f′(g(x))g′(x). Мысалды зертте: ((2x+1)²)′=4(2x+1). Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: ((2x+1)²)′=4(2x+1)
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Анализ
Экстремум және ең үлкен, ең кіші мәндер
Сындық нүкте: f′(x)=0 немесе туынды жоқ
Тұйық аралықта үздіксіз функцияның шеткі мәндерін аралық ұштары мен ішкі сындық нүктелерде салыстырамыз. Негізгі байланыс: Сындық нүкте: f′(x)=0 немесе туынды жоқ. Мысалды зертте: (x−2)² ең кіші мәні 0.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: (x−2)² ең кіші мәні 0.
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Анализ
Туындының физикалық мағынасы
v(t)=s′(t); a(t)=v′(t)
Орын ауыстыру функциясының туындысы лездік жылдамдықты көрсетеді. Негізгі байланыс: v(t)=s′(t); a(t)=v′(t). Мысалды зертте: s=t² → v=2t. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: s=t² → v=2t
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Ықтималдық
Оқиғаларға амалдар және шартты ықтималдық
P(A|B)=P(A∩B)/P(B), P(B)>0
Шартты ықтималдық бір оқиға белгілі болғанда екіншісінің мүмкіндігін сипаттайды. Негізгі байланыс: P(A|B)=P(A∩B)/P(B), P(B)>0. Мысалды зертте: P(A∩B)=0,2; P(B)=0,5 → 0,4.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: P(A∩B)=0,2; P(B)=0,5 → 0,4.
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Ықтималдық
Тәуелсіз оқиғалар және Бернулли формуласы
P(A∩B)=P(A)P(B); Pₙ(k)=Cₙᵏpᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ
Тәуелсіз оқиғаларда бірінің болуы екіншісінің ықтималдығын өзгертпейді. Негізгі байланыс: P(A∩B)=P(A)P(B); Pₙ(k)=Cₙᵏpᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ. Мысалды зертте: Екі тәуелсіз тиынды лақтырғанда екі елтаңба: 1/4.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Екі тәуелсіз тиынды лақтырғанда екі елтаңба: 1/4.
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Геометрия
Кеңістіктегі түзулер мен жазықтықтар
Түзу мен жазықтық: жатады, қиылысады, параллель
Кеңістіктегі түзулер қиылысуы, параллель немесе айқас болуы мүмкін; айқас түзулер бір жазықтықта жатпайды. Негізгі байланыс: Түзу мен жазықтық: жатады, қиылысады, параллель. Мысалды зертте: Текшенің іргелес қырлары қиылысады.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Текшенің іргелес қырлары қиылысады.
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Геометрия
Кеңістіктегі перпендикулярлық және проекция
Көлбеу²=перпендикуляр²+проекция²
Түзудің жазықтыққа перпендикуляр болуы оның сол жазықтықтағы қиылысатын екі түзуге перпендикуляр болуымен тексеріледі. Негізгі байланыс: Көлбеу²=перпендикуляр²+проекция². Мысалды зертте: Перпендикуляр 3, проекция 4 → көлбеу 5.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Перпендикуляр 3, проекция 4 → көлбеу 5.
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Координаталар
Кеңістіктегі координаталар және векторлар
d=√((Δx)²+(Δy)²+(Δz)²)
Кеңістікте нүкте үш координатамен беріледі; қашықтық үш координата айырмаларының квадраттары арқылы табылады. Негізгі байланыс: d=√((Δx)²+(Δy)²+(Δz)²). Мысалды зертте: O(0;0;0), A(1;2;2) → OA=3.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: O(0;0;0), A(1;2;2) → OA=3.
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Анализ
Алғашқы функция және анықталмаған интеграл
F′=f; ∫f dx=F+C
Бір функцияның барлық алғашқы функциялары бір-бірінен тұрақтыға ғана өзгешеленеді. Негізгі байланыс: F′=f; ∫f dx=F+C. Мысалды зертте: ∫3x² dx=x³+C. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: ∫3x² dx=x³+C
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Анализ
Интегралдау ережелері
∫(af+bg)dx=a∫f dx+b∫g dx
Интеграл қосындыға және тұрақты көбейткішке қатысты сызықтық болады. Негізгі байланыс: ∫(af+bg)dx=a∫f dx+b∫g dx. Мысалды зертте: ∫(2x+3)dx=x²+3x+C. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: ∫(2x+3)dx=x²+3x+C
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Анализ
Ньютон–Лейбниц формуласы
∫ₐᵇ f(x)dx=F(b)−F(a)
Анықталған интеграл алғашқы функцияның шекаралардағы мәндерінің айырмасына тең. Негізгі байланыс: ∫ₐᵇ f(x)dx=F(b)−F(a). Мысалды зертте: ∫₁³ 2x dx=9−1=8. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: ∫₁³ 2x dx=9−1=8
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Анализ
Екі график арасындағы аудан
S=∫ₐᵇ (f−g)dx, f≥g
Аймақтағы аудан жоғарғы және төменгі функциялар айырмасының интегралына тең. Негізгі байланыс: S=∫ₐᵇ (f−g)dx, f≥g. Мысалды зертте: y=2 және y=0, x∈[0;3] → S=6.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: y=2 және y=0, x∈[0;3] → S=6.
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Алгебра
Рационал көрсеткішті дәреже
a^(m/n)=ⁿ√(aᵐ), a>0, n∈ℕ
Рационал көрсеткішті дәреже түбір мен бүтін дәрежені байланыстырады; нақты мәннің анықталу шартын ескеру керек. Негізгі байланыс: a^(m/n)=ⁿ√(aᵐ), a>0, n∈ℕ. Мысалды зертте: 8²/³=4. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 8²/³=4
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Теңдеулер
Иррационал теңдеулер
√f(x)=g(x) → f=g², g≥0
Түбірі бар теңдеуде дәрежелеу бөгде түбір туғызуы мүмкін; табылған түбірлер бастапқы шартта тексеріледі. Негізгі байланыс: √f(x)=g(x) → f=g², g≥0. Мысалды зертте: √(x+1)=3 → x=8. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: √(x+1)=3 → x=8
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Теңсіздіктер
Иррационал теңсіздіктер
√f(x)<a, a>0 → 0≤f(x)<a²
Түбірлі теңсіздікте түбір астындағы өрнек пен салыстырылатын жақтың таңбасы ескеріледі. Негізгі байланыс: √f(x)<a, a>0 → 0≤f(x)<a². Мысалды зертте: √x<2 → 0≤x<4. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: √x<2 → 0≤x<4
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Теңсіздіктер
Көрсеткіштік теңсіздіктер
a>1: aˣ>aʸ ⇔ x>y
Негіз бірден үлкен болса көрсеткіштік функция өседі; негіз нөл мен бір арасында болса кемиді. Негізгі байланыс: a>1: aˣ>aʸ ⇔ x>y. Мысалды зертте: 2ˣ>8 → x>3. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 2ˣ>8 → x>3
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Алгебра
Логарифмнің қасиеттері
logₐ(xy)=logₐx+logₐy; logₐxᵏ=k logₐx
Логарифм көбейтіндіні қосындыға, бөліндіні айырмаға айналдырады; аргументтер оң болуы керек. Негізгі байланыс: logₐ(xy)=logₐx+logₐy; logₐxᵏ=k logₐx. Мысалды зертте: log₂(8·4)=3+2=5. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: log₂(8·4)=3+2=5
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Теңсіздіктер
Логарифмдік теңсіздіктер
a>1: logₐx>logₐy ⇔ x>y>0
Логарифмдік теңсіздікте анықталу облысы міндетті; негізге байланысты теңсіздік бағыты сақталады не ауысады. Негізгі байланыс: a>1: logₐx>logₐy ⇔ x>y>0. Мысалды зертте: log₂x<3 → 0<x<8. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: log₂x<3 → 0<x<8
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Анализ
Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындысы
(eˣ)′=eˣ; (ln x)′=1/x, x>0
Көрсеткіштік және логарифмдік туындыларда негіз бен аргументтің шарттары сақталады. Негізгі байланыс: (eˣ)′=eˣ; (ln x)′=1/x, x>0. Мысалды зертте: (ln x)′ үшін x=2 → 1/2. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: (ln x)′ үшін x=2 → 1/2
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Ықтималдық
Кездейсоқ шама және математикалық күтім
E(X)=Σxᵢpᵢ
Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтімі мәндер мен олардың ықтималдықтарының өлшенген қосындысы болады. Негізгі байланыс: E(X)=Σxᵢpᵢ. Мысалды зертте: X=0,2; p=0,5,0,5 → E=1.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: X=0,2; p=0,5,0,5 → E=1.
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Ықтималдық
Дисперсия және стандартты ауытқу
D(X)=E(X²)−E(X)²; σ=√D
Дисперсия кездейсоқ шаманың математикалық күтімінен квадраттық ауытқуын сипаттайды. Негізгі байланыс: D(X)=E(X²)−E(X)²; σ=√D. Мысалды зертте: X=−1,1; ықтималдықтары тең → D=1.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: X=−1,1; ықтималдықтары тең → D=1.
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Геометрия
Көпжақтардың бет ауданы және қималар
Sтекше=6a²
Көпжақтың толық бет ауданы барлық жақтарының аудандарының қосындысы; қима — жазықтықпен қиылысқан фигура. Негізгі байланыс: Sтекше=6a². Мысалды зертте: Қыры 2 текшенің бет ауданы 24.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Қыры 2 текшенің бет ауданы 24.
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Шамалар
Бөлшек бойынша бүтінді және санның бөлігін табу
Бөлік=a·m/n; бүтін=бөлік·n/m, m≠0, n≠0
Бүтіннің үлесін табу үшін санды бөлшекке көбейтеміз; берілген үлестен бүтінді табу үшін бөлшекке бөлеміз. Негізгі байланыс: Бөлік=a·m/n; бүтін=бөлік·n/m, m≠0, n≠0. Мысалды зертте: 30 санының 2/3 бөлігі 20.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 30 санының 2/3 бөлігі 20.
Тақырып және жаттығу →5-сынып · Шамалар
Бірлескен жұмысқа берілген есептер
Жалпы өнімділік=v₁+v₂
Бірлескен жұмыста бір уақыт ішінде орындалатын жұмыстар қосылады; барлық жұмыс бір бүтін ретінде алынады. Негізгі байланыс: Жалпы өнімділік=v₁+v₂. Мысалды зертте: Бірі сағатына 4, екіншісі 3 бөлшек жасайды → бірге 7.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Бірі сағатына 4, екіншісі 3 бөлшек жасайды → бірге 7.
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Геометрия
Осьтік және центрлік симметрия
O центрі: (x;y)→(−x;−y)
Осьтік симметрияда сәйкес нүктелер осьтен бірдей қашықтықта болады; центрлік симметрияда центр кесіндінің ортасы болады. Негізгі байланыс: O центрі: (x;y)→(−x;−y). Мысалды зертте: A(2;−3) → центрлік бейнесі (−2;3).. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: A(2;−3) → центрлік бейнесі (−2;3).
Тақырып және жаттығу →6-сынып · Геометрия
Шар және сфера
d=2r
Сфера — центрден радиусқа тең қашықтықтағы нүктелер беті; шар — сол бетпен шектелген дене. Негізгі байланыс: d=2r. Мысалды зертте: Радиусы 4 см сфераның диаметрі 8 см.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Радиусы 4 см сфераның диаметрі 8 см.
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Геометрия
Шеңберге жанама және хорда
Радиус ⊥ жанама
Хорда шеңбердің екі нүктесін қосады; жанама шеңберге бір нүктеде тиеді және сол нүктеге жүргізілген радиусқа перпендикуляр. Негізгі байланыс: Радиус ⊥ жанама. Мысалды зертте: Жанасу нүктесіндегі радиус пен жанама бұрышы 90°.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Жанасу нүктесіндегі радиус пен жанама бұрышы 90°.
Тақырып және жаттығу →7-сынып · Геометрия
Циркуль және сызғышпен салу
Орта перпендикулярда PA=PB
Геометриялық салуда циркуль тең қашықтықтарды, сызғыш түзу бағыттарын белгілейді; орта перпендикуляр кесінді ұштарынан тең қашықтықтағы нүктелерді береді. Негізгі байланыс: Орта перпендикулярда PA=PB. Мысалды зертте: PA=6 болса орта перпендикулярдағы P үшін PB=6.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: PA=6 болса орта перпендикулярдағы P үшін PB=6.
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Алгебра
Рационал бөлшектерге амалдар қолдану
a/x+b/x=(a+b)/x, x≠0
Рационал бөлшектер ортақ бөлім арқылы қосылып, көбейткіштер арқылы көбейтіледі; айнымалының тыйым салынған мәндері сақталады. Негізгі байланыс: a/x+b/x=(a+b)/x, x≠0. Мысалды зертте: 2/x+3/x=5/x. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: 2/x+3/x=5/x
Тақырып және жаттығу →8-сынып · Геометрия
Тікбұрышты үшбұрыштағы 30° бұрыш
a=c/2
Тікбұрышты үшбұрышта 30° бұрышқа қарсы катет гипотенузаның жартысына тең. Негізгі байланыс: a=c/2. Мысалды зертте: Гипотенуза 10 болса 30°-қа қарсы катет 5.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Гипотенуза 10 болса 30°-қа қарсы катет 5.
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Геометрия
Үшбұрыш ауданының тригонометриялық формуласы
S=ab sinγ/2
Екі қабырға мен олардың арасындағы бұрыш белгілі болса аудан синус арқылы есептеледі. Негізгі байланыс: S=ab sinγ/2. Мысалды зертте: a=6,b=8,γ=90° → S=24.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: a=6,b=8,γ=90° → S=24.
Тақырып және жаттығу →9-сынып · Геометрия
Іштей және сырттай сызылған шеңберлер
S=pr; a=2R sinα
Іштей сызылған шеңбер барлық қабырғаларға жанасады; сырттай сызылған шеңбер барлық төбелерден өтеді. Негізгі байланыс: S=pr; a=2R sinα. Мысалды зертте: Тікбұрышты үшбұрышта сырттай шеңбер радиусы гипотенузаның жартысы.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Тікбұрышты үшбұрышта сырттай шеңбер радиусы гипотенузаның жартысы.
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Алгебра
Көпмүшені бөлу және қалдық
P(x)=(x−a)Q(x)+P(a)
Көпмүшені сызықтық көбейткішке бөлгендегі қалдық сол көбейткіштің түбіріндегі көпмүшенің мәніне тең. Негізгі байланыс: P(x)=(x−a)Q(x)+P(a). Мысалды зертте: x²+1-ді x−2-ге бөлгендегі қалдық P(2)=5.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: x²+1-ді x−2-ге бөлгендегі қалдық P(2)=5.
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Алгебра
Ньютон биномы
(a+b)ⁿ=Σ Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ
Екі мүшенің натурал дәрежесінің жіктелуіндегі коэффициенттер теру сандары арқылы беріледі. Негізгі байланыс: (a+b)ⁿ=Σ Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ. Мысалды зертте: (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Ықтималдық
Толық ықтималдық формуласы
P(A)=ΣP(Hᵢ)P(A|Hᵢ)
Өзара үйлеспейтін және барлық жағдайларды қамтитын гипотезалар арқылы оқиғаның жалпы ықтималдығын табамыз. Негізгі байланыс: P(A)=ΣP(Hᵢ)P(A|Hᵢ). Мысалды зертте: Екі тең үлесті топта ықтималдықтар 0,2 және 0,4 → жалпы 0,3.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Екі тең үлесті топта ықтималдықтар 0,2 және 0,4 → жалпы 0,3.
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Геометрия
Кеңістіктегі бұрыштар және қашықтықтар
sinα=h/l
Түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш түзу мен оның ортогональ проекциясы арқылы анықталады; перпендикуляр ең қысқа қашықтық береді. Негізгі байланыс: sinα=h/l. Мысалды зертте: h=3,l=6 болса sinα=1/2.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: h=3,l=6 болса sinα=1/2.
Тақырып және жаттығу →10-сынып · Координаталар
Кеңістіктегі скаляр көбейтінді
a·b=aₓbₓ+aᵧbᵧ+a_zb_z
Үшөлшемді векторлардың скаляр көбейтіндісі сәйкес координаталар көбейтінділерінің қосындысына тең. Негізгі байланыс: a·b=aₓbₓ+aᵧbᵧ+a_zb_z. Мысалды зертте: (1;2;3)·(2;1;0)=4. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: (1;2;3)·(2;1;0)=4
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Алгебра
Комплекс сандар және жорамал бірлік
i²=−1; z=a+bi
Комплекс сан a+bi түрінде жазылады; жорамал бірліктің квадраты −1-ге тең. Негізгі байланыс: i²=−1; z=a+bi. Мысалды зертте: (2+3i)+(1−i)=3+2i. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: (2+3i)+(1−i)=3+2i
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Алгебра
Комплекс санның модулі және түйіндесі
|a+bi|=√(a²+b²); z̄=a−bi
Түйіндес санның жорамал бөлігі таңбасын өзгертеді; модуль нақты және жорамал бөліктер квадраттарының қосындысынан түбір алу арқылы табылады. Негізгі байланыс: |a+bi|=√(a²+b²); z̄=a−bi. Мысалды зертте: |3+4i|=5. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: |3+4i|=5
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Алгебра
Алгебраның негізгі теоремасы
n-дәрежелі көпмүше → n түбір (еселіктерімен)
Дәрежесі n болатын тұрақты емес комплекс коэффициентті көпмүшенің еселіктерін қоса есептегенде n комплекс түбірі бар. Негізгі байланыс: n-дәрежелі көпмүше → n түбір (еселіктерімен). Мысалды зертте: x²+1=0 → i және −i.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: x²+1=0 → i және −i.
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Анализ
Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер
y′=f(x) → y=∫f(x)dx+C
Дифференциалдық теңдеу белгісіз функция мен оның туындысын байланыстырады; қарапайым жағдайда айнымалылар ажыратылып интегралданады. Негізгі байланыс: y′=f(x) → y=∫f(x)dx+C. Мысалды зертте: y′=2x, y(0)=1 → y=x²+1.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: y′=2x, y(0)=1 → y=x²+1.
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Анализ
Дифференциалдық теңдеумен өсуді модельдеу
y′=ky → y=Ceᵏˣ
Өсу жылдамдығы шаманың өзіне пропорционал болса экспоненциал модель пайда болады; коэффициент оқу шарты ретінде беріледі. Негізгі байланыс: y′=ky → y=Ceᵏˣ. Мысалды зертте: y′=2y, y(0)=3 → бастапқы өсу жылдамдығы 6.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: y′=2y, y(0)=3 → бастапқы өсу жылдамдығы 6.
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Ықтималдық
Үздіксіз кездейсоқ шама және қалыпты үлестірім
Z=(X−μ)/σ, σ>0
Үздіксіз шаманың ықтималдығы аралықтарға беріледі; қалыпты үлестірім орташа мәнге қатысты симметриялы болады. Негізгі байланыс: Z=(X−μ)/σ, σ>0. Мысалды зертте: μ=10,σ=2,X=14 → Z=2.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: μ=10,σ=2,X=14 → Z=2.
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Геометрия
Қиық конус көлемі
V=πh(R²+Rr+r²)/3
Қиық конус параллель қимамен конустың төбелік бөлігін алып тастағанда пайда болады. Негізгі байланыс: V=πh(R²+Rr+r²)/3. Мысалды зертте: R=2,r=1,h=3 → V=7π.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: R=2,r=1,h=3 → V=7π.
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Геометрия
Қиық пирамида көлемі
V=h(S₁+S₂+√(S₁S₂))/3
Қиық пирамиданың көлемі табандарының аудандары мен олардың арақашықтығына байланысты. Негізгі байланыс: V=h(S₁+S₂+√(S₁S₂))/3. Мысалды зертте: S₁=9,S₂=4,h=3 → V=19.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: S₁=9,S₂=4,h=3 → V=19.
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Координаталар
Кеңістіктегі түзу және жазықтық теңдеулері
Ax+By+Cz+D=0; (x;y;z)=(x₀;y₀;z₀)+t(a;b;c)
Жазықтық теңдеуіндегі коэффициенттер оның нормаль векторын береді; түзу бағыттаушы вектор арқылы параметрлік жазылады. Негізгі байланыс: Ax+By+Cz+D=0; (x;y;z)=(x₀;y₀;z₀)+t(a;b;c). Мысалды зертте: x+y+z=6 жазықтығында (1;2;3) жатады.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: x+y+z=6 жазықтығында (1;2;3) жатады.
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Геометрия
Ұқсас денелердің көлемдері
V₂/V₁=k³
Ұқсас кеңістік денелерінің ұзындықтары k есеге өзгерсе бет аудандары k², көлемдері k³ есеге өзгереді. Негізгі байланыс: V₂/V₁=k³. Мысалды зертте: Қырлар 2 есе артса көлем 8 есе артады.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Қырлар 2 есе артса көлем 8 есе артады.
Тақырып және жаттығу →11-сынып · Геометрия
Айналу денелерінің бет ауданы
Sц=2πr(r+h); Sконус=πr(r+l); Sсфера=4πr²
Цилиндр, конус және сфера беттерінің аудандары радиус, биіктік немесе жасаушы арқылы есептеледі. Негізгі байланыс: Sц=2πr(r+h); Sконус=πr(r+l); Sсфера=4πr². Мысалды зертте: Радиусы 3 сфераның ауданы 36π.. Қандай шарттар орындалуы керек? Өлшем мен таңбаларды тексер, әдісіңді негізде.
Мысал: Радиусы 3 сфераның ауданы 36π.
Тақырып және жаттығу →